Gränser i ständig förändring 

Andreas Minne, som disputerade i matematik vid KTH 2016, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Luigi Ambrosio vid Scuola Normale Superiore i Pisa, Italien. 

På vilket sätt smälter polarisen? Hur rör sig en skogsbrand? Går det att förutsäga hur cancertumörer växer? Dessa frågor är exempel på problem som kan formuleras med hjälp av fria gränser, inom matematiken också kallade fria randvärdesproblem. Med fri menas att gränsytorna är i ständig förändring som den fria ytan mellan is och vatten. Utmaningen är att beräkna dessa gränser. 

I de flesta fall går det inte att ange ett exakt svar, men det går att dra intressanta kvalitativa slutsatser med hjälp av teorin för partiella differentialekvationer. Till exempel kan man uppskatta hur snabbt gränsytan rör sig, eller vilken form den kan eller inte kan anta. Ibland är formen slät, som när en isbit smälter, ibland har den tvära vändningar, singulariteter. En sådan singularitet uppstår exempelvis i lågan på ett stearinljus: lågans fria yta är slät nästan överallt förutom högst upp där den bildar en skarp spets. 

I vissa fall kan den fria ytan uppvisa oändligt många singulariteter som när ett moln eller Norges kustlinje ska beskrivas. Båda ändras konstant, om än ibland väldigt långsamt, och deras gränser kan ritas som en sicksacklinje, kallad fraktal, med ett oändligt antal skarpa vinklar. 

Foto: KTH