Nya geometriska former fördjupar gammal teori

Antonio Trusiani som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2020, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Vincent Guedj vid Institut de Mathématiques de Toulouse, Frankrike. 

Ämnet för Antonio Trusianis projekt är ett modernt område av geometrin, Kählergeometri, döpt efter den tyske matematikern Erich Kähler, som utvecklade de grundläggande idéerna i början av 1930-talet. Startpunkten för studier av Kählergeometri är komplexa rum som till exempel kan bestå av lösningarna till polynomekvationer. 

För att kunna mäta vinklar och avstånd, och därmed tala om ett slags komplext rum, införs en metrik. Finns det då en optimal metrik som gör att rummet får en så enkel form som möjligt? Till exempel så att krökningen blir konstant som hos en sfär. En naturlig klass av metriker erhålls om man kräver att metriken uppfyller en ekvation som är snarlik Einsteins fältekvationer i den allmänna relativitetsteorin. Sådana metriker kallas Kähler-Einsteinmetriker. De har varit föremål för stort intresse under senare år inte minst på grund av sin roll i supersträngteorien. 

Att hitta en Kähler-Einsteinmetrik för en given mångfald är dock inte alltid lätt, och för att göra det utgår Trusiani från den så kallade Yaus förmodan från 1980-talet som bevisades så sent som 2012. Den länkar samman frågan om det finns Kähler-Einsteinmetriker med ett speciellt villkor för hur komplexa rum kan ordnas in i familjer. Planen är nu att utöka beviset till en variant av Yaus förmodan så att nya rum med optimala metriker kan hittas och teorin på så sätt utvecklas vidare.