Studier av abstrakta knutar

Cecilia Karlsson som disputerade i matematik vid Uppsala universitet i februari 2016, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Yakov Eliashberg, vid Stanford University i Palo Alto, USA.

Man kan se en matematisk knut som ett rep hoplimmat i båda ändar. Det finns oändligt många olika knutar, och till de stora utmaningarna inom den moderna knutteorin hör att hitta nya metoder för att skilja knutarna åt. Två knutar anses lika ifall den ena kan omformas till den andra utan att repet behövs klippas. Cecilia Karlsson bedriver forskning inom matematisk knutteori.

Teorin utvecklades först i början av 1800-talet. Senare, under andra halvan av 1800-talet, motiverade av Lord Kelvins förmodan om att atomer var knutar i etern, gjorde matematiker betydande bidrag till knutteorin. Genom att klassificera knutar hoppades de kunna härleda det periodiska systemet. Fast innan matematikerna blev klara med sitt arbete, hann fysikerna överge knuthypotesen. Trots detta utvecklades knutteorin vidare och har blomstrat under de senaste 30 åren.

Knutteori går att generalisera i många riktningar, bland annat till högre dimensioner, eller genom att införa geometriska begränsningar på knutarna. I det föreslagna projektet ska en särskilt sorts knutar, Legendreknutar, utforskas. De är fenomen som uppkommer inom kontaktgeometrin, som liksom den besläktade symplektiska geometrin har anor från klassisk mekanik. Kontaktgeometrin dikterar specifika begränsningar för Legendreknutarna.

Tekniker från kontaktgeometrin har underlättat upptäckten av nya egenskaper hos Legendreknutarna, vilket har gjort dem lättare att klassificera. Målet med projektet är att ytterligare utforska Legendreknutarna och strukturerna kring dem. Under de senaste åren har utvecklingen inom detta område varit närmast explosionsartad, och forskningsresultaten ger även bidrag till andra områden, som den teoretiska fysikens strängteori.