Kartläggning av slumpen i en platt värld 

Erik Duse som disputerade i matematik vid KTH 2015, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Kari Astala och professor Eero Saksman vid Institutionen för matematik och statistik, Helsingfors universitet, Finland.  

Intressanta matematiska mönster finns i all naturvetenskap. Även i slumpen går det att hitta mönster. Så kan många slumpmässiga fysikaliska processer studeras genom att utforma modeller för slumpen. En relativt enkel modell är en plan yta som ska täckas med regelbundna brickor. Sådana slumpmässiga plattläggningsmönster har visat sig vara en oerhört rik källa för matematiska studier inom statistisk mekanik. Inte minst för att de kan varieras på många olika sätt, exempelvis kan en fyrkant med 64 rutor fyllas med dominobrickor på nästan tretton miljoner (12 988 816) olika sätt.  

Om en plan yta har en annan geometrisk form än den fyrkantiga, kan bestämda geometriska mönster hittas i gränsområden mellan det slumpmässiga och det ordnade.  Till exempel om plattläggningen är tillräckligt stor, kan gränsen mellan det ordnade och det oordnade området forma en exakt cirkel. Att studera strukturen hos stora plattläggningsmönster är ett av syftena med projektet. 

Slumpmässig plattläggning delar vissa egenskaper med fysikaliska system som kan formuleras som variationsproblem och projektet handlar också om att utforska dessa. Det är sedan länge kända problem där det gäller att bestämma högsta eller minsta värden för en bestämd storhet, exempelvis den minsta energin. Ett annat typiskt exempel är den fysikaliska förklaringen till varför en såpbubbla blir rund som ett klot – det beror på att en sfär har den minsta arean. 

För att utforska detta konstrueras en yta som får representera plattläggningen. Liksom det platta mönstret blir också ytan slumpmässig. En sådan ytkonstruktion ger upphov till ett naturligt variationsproblem. Projektet handlar om att bättre förstå variationsproblemet, hur dess lösningar ser ut geometriskt och hur detta i sin tur är relaterat till de ursprungliga slumpmässiga mönstren.