Svårfångade symmetrier hos geometriska rum

Erik Lindell som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2023, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Nathalie Wahl vid Institutionen för matematik, Köpenhamns universitet, Danmark.

Inom den algebraiska topologin används verktyg från algebra för att undersöka abstrakta geometriska rum som är centrala studieobjekt för matematikgrenen topologi. 1700-tals matematikern Leonhard Euler kan ses som den algebraiska topologins förfader med sin berömda formel för sambandet mellan antalet hörn, kanter och sidor hos en månghörning. Algebraiska metoder i studier av geometriska objekt förfinades sedan under hela 1800-talet och kulminerade i fransmannen Henri Poincarés framstående arbete. Hans grundläggande förmodan från 1904 postulerar att varje sluten tredimensionell kropp utan hål är ytan av ett fyrdimensionellt klot. Det dröjde nästan hundra år och många nya idéer och verktyg för att föra Poincarés förmodan i bevis.

Ett av verktygen inom den algebraiska topologin är symmetrier av topologiska rum som bevarar vissa egenskaper hos dessa rum. Två symmetrier kan även upprepas sekventiellt för att bilda en tredje. Uppsättningen av symmetrier har alltså en algebraisk struktur av en grupp vilket leder till rika algebraiska teorier såsom avbildningsklassgrupper. 

Av särskilt intresse för det kommande projektet är att använda algebraiska metoder för att undersöka lågdimensionella topologiska objekt som kurvor och ytor, såväl som interna relationer mellan de algebraiska strukturer som är förknippade med sådana objekt. Grundläggande inom den lågdimensionella topologin är studiet av avbildningsklassgrupper och så kallad homologi. Vissa symmetrier lämnar homologin oförändrad, och denna del av avbildningsklassgruppen kallas Torelligruppen. Lite är hittills känt om Torelligrupperna och nya metoder krävs för att undersöka dem närmare.