Att förstå geometri genom elementära byggstenar

Josefien Kuijper som ska disputera i matematik vid Stockholms universitet 2024, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Elden Elmanto vid University of Toronto.

Algebraisk geometri är studiet av varieteter, som är geometriska former som kan beskrivas med algebraiska ekvationer. Ett enkelt exempel på en varietet är en cirkel med radien r, som beskrivs av ekvationen  x²+y²=r². Ett viktigt verktyg för att studera algebraiska varieteter är kohomologiteorier, instrument som förvandlar algebraiska varieteter till enklare objekt, såsom grupper eller vektorrum. De är nödvändiga för att förstå den algebraiska och geometriska information som finns i algebraiska varieteter.

Cirkeln är ett exempel på en algebraisk varietet som är både slät och komplett, vilket innebär att den geometriska formen inte korsar sig själv eller uppvisar något annat singulärt beteende, och att den är sluten och begränsad. De släta kompletta varieteterna är bättre förstådda än algebraiska varieteter i allmänhet. Lyckligtvis kan metoder som kompaktifiering och desingularisering användas för att relatera en godtycklig varietet till varieteter som är släta och kompletta. 

I det föreslagna projektet kommer Josefien Kuijper att använda dessa principer, att "bygga godtyckliga varieteter från släta och kompletta varieteter", för att förstå kohomologiteorier bättre, och konstruera nya sådana. När är en kohomologiteori unikt bestämd av dess beteende på varieteter som är släta och kompletta? Vilken är den minsta mängd data som behövs för att unikt bestämma en kohomologiteori? 

Dessa frågor är inspirerade av arbeten av Grothendieck och Deligne från förra århundradet. Men moderna verktyg, som oändlighetskategorier, har redan gett upphov till nya perspektiv och spännande resultat. Ett annat syfte med projektet är att undersöka hur dessa nya verktyg, i kombination med gamla principer, kastar ljus över andra begrepp som går tillbaka till Grothendieck: den algebraiska K-teorin för kategorin av varieteter, och sex-funktorformalismer.

Foto: Jelte Bergwerff