Att beräkna sannolikheten för kaos

Michael Jakobson är för närvarande professor vid University of Maryland, USA. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, vara gästprofessor vid Matematiska institutionen, Uppsala universitet.

Syftet med detta forskningsprojekt är att utveckla nya matematiska tekniker för studier av en- och tvådimensionella dynamiska system. Dynamiska system har sitt ursprung i Isaac Newtons celesta mekanik och studerar hur systemen utvecklas i tiden. Dynamiska system har med framgång visat sig kunna beskriva fenomen inom så skilda områden som astronomi, meteorologi, finansmarknader samt flertalet biologiska och medicinska system, från fiskpopulationer till epidemiologi.

Matematiskt kan även de enklaste dynamiska systemen visa sig överraskande komplicerade. Vissa dynamiska system som är extremt känsliga för begynnelsevillkoren kallas kaotiska. De system projektet ämnar utforska är sådana som inte uppenbart uppvisar kaotiskt beteende. Likväl tycks det som om de är kaotiska i väldigt många fall. Målet är att bevisa detta och även besvara frågan om hur stor chansen är att ett utvalt system är kaotiskt. Är den 1 procent eller kanske 99?

Michael Jakobson bevisade redan på 1980-talet att chansen för kaos är större än noll hos det sedan länge mest studerade klassiska systemet, de så kallade kvadratiska avbildningarna i en dimension. Ett av de viktigaste stegen i utforskningen av de kvadratiska avbildningarna i en och två dimensioner är ett numera berömt resultat från 1991 av de svenska matematikerna Michael Benedicks och Lennart Carleson. Ett annat viktigt steg togs nyligen av en av professor Jakobsons studenter, som beskrivit en ny kraftfull metod för att beräkna sannolikheten för att systemet är kaotiskt. Avsikten med forskningsprojektet är att utveckla metoden vidare. För bevisföringen används mycket speciella tekniker som krävs både för noggranna numeriska beräkningar och rigorös matematik.