Geometri för objekt med många hörn och kanter

Magnus Goffeng, som disputerade i matematik vid Göteborgs universitet 2011, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Ryszard Nest vid Köpenhamns universitet, Danmark.

Till vardags kanske ordet geometri för tankarna till trianglar och cirklar. För en matematiker handlar det oftare om betydligt mer abstrakta objekt i högre dimensioner. Den egenskap som förenar dessa objekt är att de inte är släta utan kantiga. Till exempel är en cirkel en slät kurva, medan en triangel är kantig.

Kantigheten orsakar besvär för de gängse analytiska metoderna. För att ändå kunna utforska sådana objekt, omvandlas de till mer släta, genom att runda av kanterna lite. Ibland kan dock en sådan avrundning bli svår att kontrollera och inget garanterar att det överhuvudtaget går att släta ut alla kanter. En intressant upptäckt i detta sammanhang gjordes av den tyska matematikern Karl Weierstrass, som till mångas häpnad 1872 hittade en matematisk kurva som bara består av kanter.

Magnus Goffengs forskningsprojekt syftar till att utveckla robusta analytiska metoder för att hantera hackiga objekt med hjälp av verktyg från en gren i matematiken kallad icke-kommutativ geometri. Den utvecklades av den franska matematikern och Fieldsmedaljören Alain Connes på 1970-talet. Dessa verktyg är inspirerade av fysikens metoder och förenar idéer och tekniker från den abstrakta kvantmekaniken och kvantfältteorin. Även metoder från matematikens olika områden, som topologi, differentiell geometri och matematisk analys, är nödvändiga för projektet.

Foto: Petra Lein