Differentialekvationer och olika derivatabegrepp

Lukáš Malý, som disputerade i matematik vid Linköpings universitet 2014, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Nageswari Shanmugalingam vid University of Cincinnati, Ohio, USA.

Många av naturens föränderliga fenomen kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer. Till exempel kan temperaturfördelningen i en kropp uttryckas som en funktion beroende av tid och läget i kroppen. Funktionen är en lösning på den så kallade värmeledningsekvationen.

Vanligtvis kan man visa att det finns en entydig lösning till differentialekvationerna. Men det är sällan möjligt att faktiskt hitta den explicita lösningen. Å andra sidan kan man med hjälp av datorer försöka beräkna en approximation av den sökta lösningen. Ett problem med sådant angreppssätt är att det inte i förväg går att veta hur långt det datorberäknade numeriska resultatet är från den verkliga lösningen. Den exakta lösningen kan vara en komplicerad, ganska vild funktion som svänger hit och dit med tvära kast och hamnar långt ifrån sin approximation. Därför är det viktigt att kunna analysera olika egenskaper hos lösningen.

Till de viktigaste egenskaperna hör uppskattningar av hur stora värden lösningsfunktionerna antar och hur snabbt de svänger. Med lämpliga metoder går det att avgöra om en approximation till en lösning till differentialekvationerna representerar verkligheten tillräckligt väl. Det finns flera olika sätt att mäta noggrannheten hos en approximation. Lukáš Malýs forskningsprojekt behandlar olika sådana sätt samt utforskar den rika teorin kring de olika metoderna.