Att beräkna lösningar till diofantiska ekvationer

Oscar Marmon, som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2010, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos lektor Morten S. Risager vid Köpenhamns universitet, Danmark.

Syftet med Oscar Marmons projekt är att utforska de så kallade diofantiska ekvationerna, det vill säga ekvationer där man söker heltalslösningar till polynom med heltalskoefficienter. Diofantiska ekvationer hör till matematikens äldsta; namnet syftar på den grekiske matematikern Diofantos verksam i Alexandria på 200-talet e.Kr.

Sedan dess har diofantiska ekvationer studerats av en rad berömda matematiker över tiderna, som Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss och Leonhard Euler. Många av matematikens viktigaste områden har sprungit ur försöken att lösa dem. Fortfarande finns det dock en mängd frågor och olösta problem.

Den ryske matematikern Yuri Matiyasevich bevisade 1970 att det inte finns någon allmän algoritm att avgöra huruvida en given diofantisk ekvation alls har en lösning. Men det går att finna klasser av ekvationer där detta är möjligt att bestämma, fast bara om ekvationerna uppfyller vissa villkor. En av uppgifterna för projektet är att utveckla metoder för att granska dessa villkor vidare. En annan uppgift är att undersöka flera specialfall av lösningar till de diofantiska ekvationerna.

Ekvationerna dyker också upp naturligt på de mest skilda områden av såväl ren som tillämpad matematik. Forskningsprojektet kommer att studera flera problem som direkt berör tillämpningar inom andra grenar av matematiken, som harmonisk analys och talteori.

Foto Georg August