Från Goldbachs förmodan till modern aritmetisk kombinatorik 

Dmitrii Zhelezov, som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2016, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Endre Szemerédi vid Alfréd Rényi Institute of Mathematics i Budapest, Ungern.  

Det planerade projektet handlar om aritmetisk kombinatorik, som är en del av matematikens talteori. Till skillnad från andra matematikgrenar drivs kombinatoriken  
av konkreta problem som är lätta att formulera men ökänt svåra att lösa, även om det ibland inte krävs mer än gymnasiekunskaper för att lösa dem.  

Ett av de mest berömda problemen är Goldbachs förmodan som säger att varje jämnt heltal större än två kan skrivas som en summa av två primtal. Den tyske matematikern Christian Golbach formulerade detta 1742 i ett brev till det redan då berömda mattegeniet, schweizaren Leonard Euler. Euler svarade att det säkert var sant, men att han inte kunde bevisa det. Ingen annan heller har kunnat göra det under de nästan 300 år som gått sedan dess. Svårigheten med Goldbachs förmodan är att den handlar om addition, medan primtalen definieras av multiplikation – ett primtal ska inte kunna delas med andra positiva heltal än 1 och sig själv. Däremot är inte mycket känt om hur primtalen ska sammankopplas med addition.  

En summängd består av alla summor av två tal i en given mängd. Frågan i Goldbachs förmodan är då om en summängd av alla parvisa summor av primtal innehåller alla jämna heltal större än två. Till att börja med kan mer lätthanterliga problem kring summängder utforskas. Så kan nya metoder och verktyg, utvecklade för att lösa mer specifika problem, återanvändas senare för att lösa de kända svåra problemen.  

Summängder har även många tillämpningar. De begrepp och metoder som först utvecklades för att lösa abstrakta problem inom talteori visade sig även användbara för säkerheten i modern kryptografi. Numera används de dagligen när vi betalar med kreditkort eller surfar på nätet. 

Foto: Setta Aspström