Om att urskilja delsystem som går att lösa  

Eskil Rydhe, som ska disputera i matematik vid Lunds universitet 2017, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Jonathan Partington vid University of Leeds, Storbritannien. 
 


Forskningsprojektet kommer att kretsa kring några av de mest klassiska ämnena inom operatorteori samt komplex och harmonisk analys. Även om frågeställningarna rör ren matematik så har de tillämpningar inom reglerteori. Den övergripande frågan är hur väl tidsutveckling av ett system kan beskrivas matematiskt. 
 
En svängande gitarrsträng kan betraktas som ett exempel på ett linjärt system. Det innebär att det finns en regel, en funktion som vid varje given tidpunkt anger formen hos strängen, givet dess form i begynnelsen. Reglerna som beskriver systemets utveckling över tid bildar en så kallad semigrupp.  Att utveckla teorin för semigrupper är ett av syftena med projektet. 
 


Ett problem som ofta uppstår vid den matematiska beskrivningen av linjära system är att många begynnelsetillstånd visar sig vara otillåtna, med vilket menas att små störningar av begynnelsevärdet ger stora skillnader längre fram i tiden. Då går det inte att ge en meningsfull matematisk beskrivning av hur systemet utvecklas över tid, eftersom alla värden i praktiken bara är kända med viss noggrannhet. Men även om det inte går att ange hela systemets tidsutveckling, så går det att göra vissa observationer. 
 


Dessa observationer berör ofta bara en del av systemet. Till exempel består ljudet från en svängande gitarrsträng av en grundton och en följd av övertoner. I den matematiska beskrivningen av strängen ingår då ett oändligt antal olika toner. Men i många situationer räcker det att ur denna oändliga mängd information välja en ändlig delmängd. För gitarrsträngen kan det vara den totala ljudintensiteten, eller den hörbara delen av ljudet. På så sätt kan information om systemets tillstånd reduceras till enkla nyckeltal. Denna process leder i vissa fall till att alla rimliga begynnelsetillstånd även blir tillåtna. Att utveckla en teori för att kunna avgöra vilka observationer som i den här meningen är tillåtna och vilka som inte är det, utgör ytterligare ett mål med projektet.