Om att utforska den enklaste bland de svåraste  

Isac Hedén som disputerade i matematik vid Uppsala universitet 2013, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Miles Reid vid Mathematics Institute, University of Warwick, Storbritannien.  

I det föreslagna projektet kommer tre olika men med varandra relaterade ämnen att avhandlas. Alla tre ligger inom det övergripande målet, som sedan länge funnits i den algebraiska geometrin: att klassificera geometriska representationer  av lösningsmängder till polynomekvationer. Sådana mängder kan vara linjer, som är lösningsmängder till förstagradspolynom, eller cirklar, som är lösningsmängder till andragradspolynom.  

Lösningsmängderna kan vara mycket komplicerade geometriska objekt och därför är klassificeringen en stor utmaning som knappast kan lösas fullständigt. Istället används en grövre uppdelning i birationellt ekvivalenta mängder, där lösningsmängderna har många gemensamma egenskaper och uppfyller vissa villkor, men inte alla, för att hamna i samma mängd. 

Har mängderna sorterats in i birationella ekvivalensklasser går de att utforska på olika sätt. Ett framgångsrikt verktyg för sådana studier har varit Minimal Model Program, utvecklat sedan 1980-talet. Idén är att försöka att i varje klass hitta en representant som är så enkel som möjligt och sedan studera dessa i detalj.  

Olika strategier ska tillämpas inom projektet för att fördjupa kunskaperna om lösningsmängderna. Till exempel kommer man att göra försök att utvidga vissa metoder inom den birationella geometrin från att bara gälla tvådimensionella objekt till tredimensionella. Steget är känt för att vara mycket besvärligt, eftersom både komplexiteten och svårhetsgraden hos de använda metoderna ökar markant i tre dimensioner.