Tämjer stackar med nya begrepp

Professor David Rydh får anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet till Institutionen för matematik, KTH, Stockholm.

David Rydhs projekt handlar om moduliteori, ett centralt och mycket aktivt område inom den algebraiska geometrin. Under de senaste tjugo åren har den väckt ett stort intresse inte minst genom påverkan från den teoretiska fysiken och strängteorin. 

Ett moduliproblem handlar om att klassificera geometriska objekt som linjer, kurvor och ytor. En geometrisk lösning på ett moduliproblem är ett modulirum där varje punkt i rummet motsvarar en klass av geometriska objekt. Studier av modulirummets geometri ger då nya insikter om de objekt man klassificerar. Ofta har de geometriska objekten olika symmetrier och då får modulirummet en mer komplicerad geometrisk struktur – det blir en stack. Projektet avser komma med flera nya perspektiv på moduliteorin och teorin för stackar med hjälp av fem begrepp Rydh nyligen har introducerat.

Fyra av de nya begreppen är olika sorters så kallade uppblåsningar, verktyg som används inom den algebraiska geometrin för att modifiera geometriska objekt eller jämföra dem med varandra. En viktig del av Rydhs projekt rör geometrin för de så kallade Deligne–Mumford stackarna. Här ställs frågan om att modifiera stackar på ett kontrollerat sätt för att kunna jämföra snarlika stackar. För detta ändamål har Rydh utvecklat flera olika ”stackiga” uppblåsningar som kan användas både för att sluta till stackar (ungefär som man sätter på locket på en burk), och för att ta bort och lägga till ”stackighet”, det vill säga det som utgör skillnaden mellan klassiska geometriska objekt och stackar. En uppsjö av hittills obesvarade frågor och tillämpningar väntar nu på att bli utforskade med hjälp av nya typer av uppblåsningar.