Symmetri och stelhet förenar talteori med geometri

Jiacheng Xia som disputerade i matematik vid Chalmers tekniska högskola 2021, har tack vare ett anslag från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Tonghai Yang vid University of Wisconsin–Madison, USA.

Talteori och geometri tillhör de äldsta grenarna inom matematiken. Talteorin rör frågor om heltal medan former är geometrins studieobjekt. De två utvecklades nästintill åtskilda under århundradena fram till förra seklet då den moderna talteorin länkades alltmer samman med geometrin. Därmed kunde en mängd relationer mellan objekt av talteoretisk och geometrisk natur förutsägas. 

Ett genomgående tema i projektet är samspelet mellan symmetri och stelhet. Symmetri är ett generellt fenomen inom matematiken som talar om i vilken grad ett objekt förblir oförändrat under transformationer, till exempel då det vrids runt. Stelhet är ett begrepp med ursprung i fysiken som kan ses som brist på frihetsgrader hos ett objekt. Det innebär att det går att entydigt bestämma objektets egenskaper med mindre mängd information än förväntat. Ett objekt med högre symmetri uppvisar också ofta en högre grad av stelhet, och omvänt – ju mer stela objekt desto mer symmetriska är de.

En central fråga i projektet är att studera geometrisk stelhet hos vissa objekt med hög symmetri, vilket är av intresse inom talteorin. Ett lämpligt verktyg för beräkningarna är så kallade modulära former, ett slags funktioner som uppfyller både villkor för symmetri och stelhet. Inspirationen kommer från ett brett forskningsprogram som först utformades i början av 1990-talet av den amerikanske matematikern Stephen Kudla och som har drivit på utvecklingen inom den aritmetiska geometrin allt sedan dess.