Att förstå förändring på djupet

Marco Martens är professor vid Stony Brook University, New York. Han kommer, tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse, att vara gästprofessor vid Matematiska institutionen, Uppsala universitet.

Ett dynamiskt system är en matematisk modell som beskriver hur systemets tillstånd utvecklas med tiden. Systemets tillstånd kan vara allt ifrån en position och hastighet hos en pendel till väderförhållanden för stunden eller en ögonblicksbild av hela universum. Ofta är utvecklingen i tid oerhört känslig för begynnelsevillkoren och systemet beskrivs då som kaotiskt. Ett typiskt kaotiskt system är väder som inte går att förutsäga för längre tid framöver, eftersom bara en liten förändring av startvärden kan få stora och oförutsägbara effekter på lång sikt. 

Men till och med enkla dynamiska system kan visa sig förbluffande komplexa. Vissa av de endimensionella dynamiska systemen är numera välförstådda tack vare utvecklingen av renormaliseringsteorin, en av de mer kraftfulla tekniker som använts inom fältet under de senaste decennierna. 

Målet med det planerade projektet är att med hjälp av renormaliseringsteorin fördjupa förståelsen av dynamiska system som är tvådimensionella. 

Avgörande egenskaper hos de endimensionella systemen är att de uppvisar rigiditet liksom en viss universalitet. Däremot har renormaliseringen av tvådimensionella dissipativa system öppnat en källa till överraskande fenomen. Bland annat har den inbjudne Marco Martens med andra upptäckt att rigiditet inte kvarstår i två dimensioner. Samtidigt har de funnit nya probabilistiska rigiditets- och universalitetsfenomen. Ett naturligt nästa steg i analysen och huvudmålet med den föreslagna forskningen är att rigoröst konstruera en renormaliseringsfixpunkt i fallet med ett konservativt tvådimensionellt system.