Andreas Strömbergsson möter upp på Ångströmlaboratoriet vid Uppsala universitet. Här har matematik blivit en allt starkare forskningsmiljö på senare år.

– Bland internationella kollegor märker jag att Uppsala har blivit en plats att räkna med på matematikkartan.

Som professor lägger Strömbergsson en del av sin tid på att handleda och undervisa nästa generation matematiker, men mest av allt ägnar han sig åt att tänka.

– Det viktigaste för en matematiker är nog att få tid att sitta i lugn och ro och fundera på svåra problem.

Det kan vara ganska ensamt när man är djupt inne i forskningen, men också mycket stimulerande.

Hans forskning ligger i gränslandet mellan talteori och dynamiska system, speciellt homogen dynamik. Det kan beskrivas som att studera ett system där alla delar beter sig på ett enhetligt sätt över tid och rum.

– Jag delar upp arbetet i små delproblem som jag kämpar med.

Nytt ljus över klassiska problem

Många av de frågor Strömbergsson studerar handlar om matematiska modeller för rörliga eller stillastående klot, ofta kopplade till klassiska problem. Ett exempel är den så kallade hårdsfärsmodellen, en grundläggande modell inom gasteori som ursprungligen introducerades av fysikern Ludwig Boltzmann på 1800-talet.

I modellen beskrivs gaspartiklar som många identiska styva klot som rör sig i en behållare. Dessa klot färdas i raka linjer med konstant hastighet tills de kolliderar med varandra eller behållarens väggar. Vid kollisioner interagerar de enligt enkla regler, som elastiska stötar, innan de fortsätter.

Trots sin enkelhet ger hårdsfärsmodellen upphov till djupa matematiska frågor. Att försöka förstå hur en mängd sådana klot beter sig över tid leder till komplexa ekvationer och teorier.

– För vissa versioner av modellen kan man använda homogen dynamik för att beskriva hur systemet utvecklas. Förhoppningen är att fortsatt forskning kan ta oss närmare en lösning och ge ett exakt matematiskt bevis.

Packa apelsiner i högre dimensioner

En annan klassisk fråga rör sfärpackningsproblemet. Det handlar om att bestämma det mest utrymmeseffektiva sättet att packa lika stora sfärer. Man kan till exempel tänka sig perfekt klotformade apelsiner.

Frågan är kopplad till ett historiskt problem, ”Keplers förmodan”, från 1611. Problemet var olöst i flera hundra år, och först 1998 presenterade Thomas Hales ett 250 sidor långt matematiskt bevis för den optimala packningen av tredimensionella klot.

På senare år har Maryna Viazovska och hennes medförfattare publicerat bevis för optimal packning av 8-dimensionella och 24-dimensionella klot. Men problemet blir mycket mer komplicerat när man går till högre dimensioner.

– Om vi ska packa apelsiner i rum med hundra, tusen eller till och med en miljon dimensioner, vet vi förvånansvärt lite om den optimala packningsdensiteten. Skillnaden mellan de bästa kända övre och nedre gränserna för densiteten är enorm.

Strömbergsson vill fylla denna kunskapslucka, särskilt genom att studera gitter, som är regelbundna arrangemang av punkter i rummet. Genom att förstå egenskaperna hos gitter i höga dimensioner hoppas han kunna hitta nya pusselbitar till förståelsen av detta problem.

Statistiska egenskaper hos talföljder

Andreas Strömbergsson kan använda resultat från homogen dynamik tillsammans med andra metoder för att förstå olika matematiska problem. Ett område som intresserar är statistiska egenskaper i talföljder som bildar specifika mönster.

Ett exempel är att studera decimaldelarna av kvadratrötter av naturliga tal, som roten ur 2, roten ur 3, och så vidare. Genom att betrakta dessa decimaldelar som punkter på en tallinje mellan 0 och 1 kan man analysera avstånden mellan närliggande punkter.

Det visar sig att avstånden inte är slumpmässigt fördelade. För kvadratrötter uppstår en specifik statistisk fördelning, medan för andra rötter, som kubikrötter, får man en annan fördelning, ofta exponentiell.

– Denna typ av analys har kopplingar till kvantmekanik, speciellt när man studerar energinivåerna i ett kvantsystem.

Genom att förstå de underliggande matematiska strukturerna kan Strömbergssons forskning ge insikter i hur komplexa system beter sig på makroskopisk nivå.

Nyfikenhet är en drivkraft

Andreas Strömbergsson betonar vikten av grundforskning—att söka kunskap för dess egen skull utan omedelbara krav på tillämpning. Han påpekar att mycket inom vetenskapen drivs av nyfikenhet och en vilja att förstå det okända.

Det är en utmaning att forska inom så abstrakta områden, och det är inte alltid lätt att förklara forskningen för allmänheten, medger han. Han brukar fila länge på formuleringarna när han skriver populärvetenskapliga sammanfattningar.

– Många frågar vilken praktisk nytta forskningen har, och det är inte lätt att svara. För mig handlar det om att utveckla vår förståelse av matematiska strukturer.

I framtiden kan forskningen leda till oväntade tillämpningar, något som Strömbergsson också ser fram emot. Men framför allt trivs han med sin forskarvardag där han nu får mer tid att ägna åt problemlösning.

Text Nils Johan Tjärnlund
Bild Magnus Bergström